线性方程组

1.1 线性方程组的解有三种情况:

  • 有1个解

  • 无解

  • 有无穷多个解

    若一个线性方程组的有一个解或无穷多个解, 则该方程组为相容的。
若无解, 则该方程组为不相容的。

1.2 矩阵

  • 将方程组的每一个变量系数写在同一列中, 形成 系数矩阵

\$x_1-2x_2+x_3 = 0\$
\$ 2x_2-8x_3 = 8\$
\$5x_1 - 5x_3 = 10\$
\$[[1,-2,3],[0,2,-8],[5,0,-5]]\$

  • 将方程组的每一个变量系数和右边的常数写在同一列中, 形成 增广矩阵

\$x_1-2x_2+x_3 = 0\$
\$ 2x_2-8x_3 = 8\$
\$5x_1 - 5x_3 = 10\$
\$[[1,-2,3,0],[0,2,-8,8],[5,0,-5,10]]\$

1.3 阶梯型矩阵

矩阵中的非零行或列: 矩阵中至少包含一个非零元素的行或列. 先导元素: 该行/列中第一个非零元素. 对应于主元列的变量称为 基本变量, 其他变量称为 自由变量.

阶梯型矩阵需要满足:

  1. 每一个非零行都在零行之上.

  2. 某一行的先导元素所在列在前一行的先导元素的右边.

  3. 某一先导元素所在列(主元列)的下方全为零.

简化阶梯型:

  1. 每一非零行的先导元素为1.

  2. 先导元素1是这一行的唯一非零元素.

定理1: 一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯型矩阵.

定理2: 线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.当没有自由变量时, 有唯一解. 当有自由变量时, 有无穷多解.

1.4 求解线性方程组的步骤:

  1. 写出线性方程组的增广矩阵.

  2. 应用行化简法把增广矩阵化为阶梯型矩阵. 如果方程组不相容则无解.

  3. 继续化为简化阶梯型矩阵.

  4. 写出步骤3所得矩阵的方程组.

  5. 讲每个非零方程改写为用任意自由变量表示其基本变量的形式.